diketahui vektor a (4, -12, -6) b(4, 2,-4) dan vektor c merupakan proyeksi Ortogonal vektor a terhadap b jika vektor d (2, 1,x) memiliki panjang yang sama dengan vektor c maka nilai dari x adalah

Jawaban yang benar adalah √(19)/3 atau -√(19)/3

Jika diketahui :
u = (u₁, u₂, u₃)
v = (v₁, v₂, v₃)
u ± v = (u₁, u₂, u₃) ± (v₁, v₂, v₃) = (u₁±v₁, u₂±v₂, u₃±v₃)
ku = k(u₁, u₂, u₃) = (ku₁, ku₂, ku₃)
u•v = u₁v₁+ u₂v₂ + u₃v₃
|v| = √( v₁² + v₂² + v₃²)
Panjang proyeksi vektor u pada v = (u•v)/|v|

Pembahasan :
a = (4, -12, -6)
b = (4, 2, -4)
a•b = 4·4 + (-12)·2 + (-6)·(-4)
= 16 – 24 + 24
= 16
|b| = √(4²+2²+(-4)²)
= √(16+4+16)
= √36
= 6
vektor c merupakan proyeksi Ortogonal vektor a terhadap b
|c| = a•b/|b|
= 16/6
= 8/3

d = (2, 1, x)
|d| = |c|
√(2²+1²+x²) = (8/3) (kedua ruas dikuadratkan)
(2²+1²+x²) = (8/3)²
(4+1+x²) = 64/9
5 + x² = 64/9
x² = 64/9 – 5
x² = 64/9 – 45/9
x² = 19/9
x = ±√(19/9)
x = ±√(19)/√(9)
x = ±√(19)/3

Jadi diperoleh nilai x adalah √(19)/3 atau -√(19)/3